Libros recomendados de matemáticas

En este post me gustaría compartir con vosotros una lista de 5 libros de divulgación matemática. Estos libros están destinados a todo aquel que quiera descubrir, aprender y maravillarse con las matemáticas y son los siguientes: 

1. El placer de la X: una visita guiada por las matemáticas, del uno al infinito (Steven Strogatz, 2013).

Este libro realiza un recorrido por diversas ramas del saber y su relación con las matemáticas a través de sorprendentes conexiones con la literatura, la filosofía, la medicina o el arte que no siempre son evidentes.

Steven Strogatz solo nos pide como lectores curiosidad y sentido común. A cambio, "El placer de la X" nos ofrecerá explicaciones claras e ingeniosas de las matemáticas y de su extraordinario poder para responder a muchas de las preguntas de la vida cotidiana.

2. El libro de las Matemáticas: De Pitágoras a la 57ª dimensión (Clifford Pickover, 2010). 

Sin ser un libro de historia de las matemáticas, ni un monográfico en temas concretos de divulgación, ya seas aficionado o profesional, seguro que encuentras en su interior una buena cantidad de historias con las que disfrutar de las matemáticas.

En cada página encontrarás la explicación de un concepto matemático acompañado de una ilustración acorde a ese concepto. Además, estos están ordenados en orden cronológico. 

3. Amor y matemáticas (Edward Frenkel, 2015).

Este libro, además de ser una apasionante historia de superación personal teñida de divulgación científica, nos introduce en una nueva forma de pensamiento capaz de enriquecer nuestra vida personal y ayudarnos a entender mejor el mundo y el lugar que ocupamos en él.
Es toda una invitación a descubrir la magia del universo escondido de las matemáticas.

4. El hombre que calculaba (Malba Tahan, 2010). 

Esta obra puede ser considerada al mismo tiempo como una novela y como un libro de problemas y curiosidades matemáticas. 

“El hombre que calculaba” es un texto que une lo útil y cotidiano con las matemáticas a través de leyendas e historias que lo hacen entretenido y mediante las cuales su autor nos enseña de una forma lógica y deductiva cómo se resuelven los problemas que allí se exponen.

5. El andar del borracho: cómo el azar gobierna nuestras vidas (Leonard Mlodinow, 2010).

En este libro nos habla sobre las matemáticas, la probabilidad, la forma de entender las encuestas, el juego, el riesgo, los acertijos que desafían a la intuición y decenas de temas relacionados. 

En él, Leonard Mlodinow examina la ley del caminar del borracho en relación con la vida humana diaria, con las diversas decisiones que continuamente tomamos empujados por acontecimientos arbitrarios que, unidos a nuestras reacciones, influyen en la mayor parte de nuestra vida personal. 


Referencias:
- Matemáticas divulgativas, Oh!Libro

Números amigos

Seguro que has escuchado miles de veces que los números pueden ser primos entre sí. Pero, ¿sabías que los números también pueden ser... Amigos? 

De hecho, puede haber números sociables, perfectos, narcisistas, hambrientos, ambiciosos, curiosos, malvados, vampiros, felices, afortunados, intocables o incluso raros. 

Como si se tratara de personas. Y es que, al igual que ocurre con las personas, hay números que tienen una cierta afinidad entre sí. Vamos a ver en qué consiste esa relación de amistad.

Se dice que dos números amigos son dos números enteros positivos a y b tales que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).

Un ejemplo es el par de números naturales 220, 284, ya que:

• Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284.
• Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

Captura de Moramáticas de elaboración propia (CC BY-SA 4.0)

La relación de amistad entre estos dos números, 220 y 228, fue observada por los pitagóricos  en la Grecia antigua hace quince siglos. 

Si además un número es amigo de sí mismo, es decir, si el número es igual a la suma de sus divisores propios, recibe entonces el nombre de número perfecto. Por ejemplo, el 6 es un número perfecto, ya que al sumar sus divisores propios (1, 2 y 3) obtenemos 6.

Si te ha parecido interesante y tienes curiosidad por conocer otros números como los números malvados, felices o hambrientos, puedes consultar este post de Gaussianos. 

Referencias:

- "Los números también pueden ser amigos", Matemáticas Cercanas por Amadeo Artacho Rocha. 

- "Números amigos", EcuRed.

- Wikipedia.

- "Números amigos, sociables, perfectos, narcisistas y un nuevo reto matemático", Ciencia al Pil Pil. 

Los 7 problemas del milenio

¿Sabías que puedes ganar hasta 1.000.000$ por resolver un problema matemático?

El hecho de que el premio sea tan generoso nos da una idea de la complejidad de los llamados Problemas del Milenio.

En el año 2000, el instituto Clay Mathematics publicó una lista con los siete desafíos matemáticos más importantes sin resolver hasta el momento y anunció que la resolución de cada uno de ellos sería premiada con la suma de un millón de dólares.

Hasta ahora, solo uno de ellos ha sido resuelto oficialmente, la conjetura de Poincaré. Se trata de un reto relacionado con la topología (estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas) y se considera una de las hipótesis más importantes y difíciles de demostrar. 

Si queréis conocer más, podéis consultar en este enlace la explicación que hace Gaussianos sobre este teorema.

En 2010,  tras demostrarse que Grigori Perelman había conseguido demostrar el enigma enunciado hacía más de un siglo por Henri Poincaré, el Instituto Clay Mathematics Institute quiso premiar con lo prometido al que había convertido la conjetura de Poincaré en teorema. 

Sin embargo, el matemático ruso sorprendió al mundo matemático rechazando el millón dolares y cualquier otro premio que le ofrecieran, como también había rechazado la medalla Fields que le concedió el Congreso Internacional de Matemáticas considerada como el Premio Nobel de las Matemáticas. 

Perelmán, quien actualmente vive con su madre en un pequeño departamento de un barrio de San Petersburgo, explicó en una entrevista que no puede tenerle miedo a ninguna crisis cuando tiene las fórmulas para calcularlo todo.  Mantuvo que aprendió a "calcular los vacíos" y que sigue conociendo los mecanismos de "llenar los vacíos sociales y económicos". Finalmente, resumió: 

Sé como manejar el Universo. Ahora díganme ¿Por qué tendría que correr a buscar un millón de dólares?

Referencias:
- "Los 7 grandes problemas matemáticos cuya resolución se premia con US$1 millón", Redacción BBC News Mundo, 4 de Otubre de 2018. 
- "Los problemas del milenio del Instituto Clay", José María Gómez Aroca
- "Estos son los siete problemas de matemáticas que valen un millón de dólares",  El Español: ciencia e investigación
- Wikipedia

Acertijos matemáticos en entrevistas de trabajo

Tus conocimientos matemáticos y tu ingenio podrían llevarte a trabajar en grandes empresas. 

Corporaciones como Google, Intel, Microsoft o Apple son famosas por realizar preguntas extrañas o acertijos durante la entrevista de trabajo. 

Sin duda, las entrevistas laborales que realizan estas empresas a sus candidatos no son entrevistas convencionales. De hecho, muchas veces las preguntas están más enfocadas a acertijos que necesitan emplear la lógica para resolverse que conocer la propia experiencia laboral del entrevistado, ya que estos acertijos demuestran las capacidades de los postulantes. 

Veamos un ejemplo de pregunta que podríamos encontrarnos si quisiéramos acceder a alguna de estas empresas. En este caso fue Facebook la que planteo la pregunta:

Buffalo Bill y Butch Cassidy se están peleando por los favores de la corista. En un momento, Butch le propone a Bill jugársela a la ruleta rusa. Toman un revolver de 6 balas y dejan únicamente tres balas alojadas en cámaras consecutivas. Bill coge el revólver sin pensarlo y dispara a su propia sien pero por fortuna la cámara no contenía ninguna bala así que ahora es el turno de Butch. Llegados a este punto, Butch tiene la oportunidad de hacer girar el tambor antes de disparar o disparar directamente el revólver sin hacerlo girar.
¿Qué opción le da más probabilidades de sobrevivir?

¡Pincha aquí para ver la solución!

Te invito a que pongas a prueba tu ingenio con este vídeo e intentes realizar los acertijos que se proponen en él para comprobar si podrías pasar una entrevista de este tipo. ¿Te atreves?

Vídeo "7 De Los Acertijos De Entrevistas Más Difíciles"

Referencias:
- "7 Acertijos de entrevistas de trabajo de grandes empresas del mundo", Genial.guru. 
-  "Las preguntas de lógica en la entrevista de trabajo", entrevistadetrabajo.org.

Probabilidades de ganar la Lotería de Navidad

Llega la Navidad y con ella la ilusión que muchos españoles compartimos de que nuestro décimo sea premiado en el sorteo de la Lotería de Navidad. Pero, si hablamos de números... ¿Qué probabilidades hay de ganar el Gordo de la Lotería de Navidad?

Supongamos que tenemos un décimo de lotería, teniendo en cuenta que en el sorteo de entran en el bombo 100000 números,  la probabilidad de que nuestro décimo sea el premiado es:

Captura de Gaussianos de elaboración propia (CC BY-SA 4.0)

Como podemos ver, la probabilidad de ganar el Gordo de la lotería es extremadamente baja , pero siendo menos ambiciosos... ¿Cuál es la probabilidad de ganar algún premio en este sorteo? 

Vamos a ver cuál es la probabilidad de ganar al premio, ya sea el Gordo, el segundo, el tercero, los cuartos, los quintos, las aproximaciones a algunos de ellos, las “pedreas” y los reintegros:

Teniendo en cuenta que el sorteo de Lotería Nacional de Navidad emite 195 series de 100000 billetes y que cada uno de estos billetes consta de 10 décimos, tenemos un total de 1950 décimos de cada uno de los números que entran en sorteo. 

Dado que se entregan 13334 premios contando con todos los premios posibles, al multiplicar estos 13334 premios por los 1950 décimos que tiene cada número, tenemos que en este sorteo habrá 26001300 décimos premiados. Teniendo en cuenta que en total se venden 195000000 décimos (100000 x 10 x 195), podemos decir que la probabilidad de que nuestro décimo obtenga algún premio es:

Captura de Gaussianos de elaboración propia (CC BY-SA 4.0)

¡Las matemáticas no engañan! Aunque, de vez en cuando, no está mal desafiar la probabilidad solo por si acaso. 

Referencias:

- "Mitos, probabilidad y comparación con otros sorteos", Gaussianos

- "¿Qué probabilidades hay de que te toque el gordo de Lotería de Navidad?, Gaussianos

¿Por qué no hay premio Nobel de matemáticas?

Son muchas las hipótesis que existen e intentan explicar por qué no existe premio Nobel en matemáticas. Siendo las matemáticas una disciplina de enorme relevancia, resulta extraño que no tengan un hueco reservado en los premios más prestigiosos a la labor intelectual humana. 

¿Qué es lo que llevó a Alfred Nobel a dejar de lado a las matemáticas a la hora de crear las categorías de sus famosos premios?

La respuesta más fantasiosa y extendida, aunque también la menos argumentada, es que la amante de Alfred Nobel le puso los cuernos con un matemático sueco llamado Gösta Mittag-Leffler y Nobel en venganza no quiso que hubiera premio para los matemáticos. 

Aunque sería una gran anécdota, lo cierto es que no está contrastada y es probable que una explicación mucho más sencilla este detrás de esto: lo más probable es que a Nobel simplemente no le interesaban mucho las matemáticas. 

Alfred Nobel dejó indicado en su testamento las disciplinas que recibirían sus premios. La Fundación que lleva su nombre, creada después de su muerte, quiso respetar su última voluntad y se limitó a seguir las instrucciones que el empresario e inventor de la dinamita había dejado escritas: Se concederían cinco premios anuales en las categorías de Física, Química, Medicina o Fisiología, Literatura y Paz a los que durante el año precedente hayan aportado el mayor beneficio para la humanidad.

Sin embargo, los matemáticos no se han quedado sin reconocimiento. Desde 1936, la Medalla Fields otorga cada cuatro años el que se considera el máximo galardón de la comunidad matemática internacional a aquellos que hayan realizado descubrimientos sobresalientes en esta área. 

En 2014, la Medalla Field fue concedida por primera vez en la historia a una mujer: la iraní Maryam Mirzakhani. 




Referencias:
- "¿Por qué no hay Premio Nobel de Matemáticas?", SINC bajo la licencia Creative Commons BY 3.0
- "Esta es la verdadera razón por la que no hay un Nobel de Matemáticas", Javier Yanes, CC BY-NC-SA 3.0. 12/10/2015

¿Por qué un número dividido por 0 da infinito?

En el colegio nos enseñan que cualquier número dividido por 0 da infinito. Pero, ¿cuál es la explicación de que esto sea así? ¡Vamos a verlo!

En este vídeo de Derivando, Eduardo Sáenz comienza explicando por qué cualquier número dividido por 0 es infinito realizando un planteamiento muy sencillo según el cual al realizar operaciones con fracciones cuanto menor sea el número por el que dividimos, mayor es el número que obtenemos:

Vídeo "¿Por qué un número dividido por cero "da" infinito?"

¿Como se interpreta un número dividido por 0 en programación?

En informática y programación, una división por 0 se considera una clásico error lógico. 

Muchos algoritmos de programación usan el algoritmo de división por restas sucesivas, este algoritmo consiste en restar el dividendo con el divisor hasta que el dividendo sea mayor o igual que el divisor o el resto sea menor que el divisor, el cociente sera indicado por un contador que se incrementará con cada operación realizada hasta conseguir el resultado final. 

Para el caso particular en el que el divisor es cero, la resta no tendría nunca un final, ya que al restar cualquier número por cero, este no cambiará nunca. Decimos entonces que la aplicación entra en un bucle infinito. 

Para evitar que esto ocurra, los procesadores matemáticos son capaces de detectar divisiones por cero en tiempo de ejecución y de entregar informes de error al sistema para que éste finalice el proceso que se está ejecutando.

El resultado de una división por cero en programación será Inf (infinito) o NaN (Not a Number, es decir, "no es un número").

Referencias:
- Wikipedia
- "¿Por qué dividir un número por cero da infinito?", El Universal

Estadística y probabilidad

Probabilidad 0... ¿Imposible o improbable?

La probabilidad se encarga de medir cuantitativamente la posibilidad de que un suceso concreto ocurra o no, es decir, es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso.

Por ejemplo, si al tirar una moneda al aire, apostamos que saldrá cara, la posibilidad de que acertemos será de 1/2 (tenemos una posibilidad de éxito entre dos casos posibles). De forma análoga, si estamos jugando al parchís, las posibilidades de sacar un 5 y salir de casa sería de 1/6. 

Por lo que podemos conocer la probabilidad de que un hecho ocurra estableciendo una relación entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles:

                           Probabilidad = Número de casos válidos / Números de casos posibles

Como consecuencia, podemos afirmar que la posibilidad está comprendida entre 0 y 1. 

En principio, resulta lógico pensar que un resultado con probabilidad 0 es imposible que ocurra. pero esto no siempre es así ya que en Teoría de Probabilidades hay "dos ceros distintos", uno denota hechos imposibles y el otro hechos extremadamente improbables. 

Sabiendo esto, nos preguntamos: ¿Cómo sabemos si un caso con probabilidad 0 es imposible o improbable?

• Un caso de probabilidad nula es imposible cuando el hecho en sí ni siquiera entra en la lista de posibles resultados de nuestro experimento. Por ejemplo, la probabilidad de sacar un 7 al tirar un dado de 6 caras (numeradas del 1 al 6) es imposible. Tenemos probabilidad 0 de que eso ocurra. 
• Un caso de probabilidad nula es muy improbable cuando el hecho si que entra entre los posibles resultados pero se trata de un conjunto finito de posibilidades frente a un espacio de posibles resultados infinito. Por ejemplo, si quisiéramos acertar el número que un amigo ha escrito en un papel entre todos los números posibles, la posibilidad de que acertáramos ese número sería también de 0 (1/∞=0) , pero eso no implica que sea imposible.  

Por eso, la próxima vez que alguien te diga que algo es imposible, pregúntate: ¿Imposible o improbable? 

Referencia:
- "Matemáticas digitales", Jose Luis Blanco, 20 Marzo, 2012
- "Probabilidad", Vitutor
- "Probabilidad 0: ¿Implica imposibilidad?", Matemáticas digitales por Jose Carlos Gámez

La típica pregunta

¿Por qué son útiles las matemáticas?

Cómo futura docente, sé que es muy probable que un día me encuentre con algún alumno o alumna que me diga eso de: "¿Pero por qué tengo que estudiar matemáticas si tengo claro que no me quiero dedicar a eso?"

Quizás el problema está en pensar en la educación que recibimos en el colegio como la formación de una profesión específica en lugar de pensar en ella como la formación de la persona en sí.

Es posible que estudiemos cosas en el instituto que no usemos en nuestra vida de adultos. Y esto no ocurre solo con matemáticas, ocurre con todas las asignaturas.

Podríamos pensar que saber que ocurrió durante el reinado de no sé que Rey hace cientos de años solo nos valdrá para ganar algún quesito en el trivial o que la sintaxis no tenía sentido cuando ya sabíamos hablar.

Pues bien, puede ser cierto que nunca nos haya hecho falta responder esa pregunta de historia o que nadie nos haya vuelto a pedir que analicemos una frase sintácticamente. Pero el proceso de aprender esas cosas ha hecho de nosotros lo que somos ahora. Conocer la historia nos ayuda a no cometer errores que ya se cometieron y ejercita nuestra memoria. Analizar frases sintácticamente hace que hoy hablemos sin errores, que sepamos expresarnos mejor e incluso nos facilita el proceso de aprender otras lenguas.

De la misma manera, el proceso de haber estudiar matemáticas ha hecho de nosotros lo que somos hoy en día.

Con las matemáticas desarrollamos el pensamiento abstracto, aprendemos a analizar los problemas, los procedimientos, etc. y nos hace más inteligentes.

Por no decir, que son la base de cualquier asentamiento científico de cualquier disciplina, no solo cuando hablamos de física o biología, también de sociología o humanidades. Por lo que, aunque no queramos ser matemático, haber  dejado crecer a nuestro Yo matemático nos será de mucha ayuda.

Por último, las matemáticas desarrollan también nuestro sentido crítico. Si tenemos el rigor de las matemáticas y sabemos interpretar la información que nos llega de una manera crítica seremos menos manipulables y, por tanto, seremos más libres.